Приклади. Кожне кільце є абелевою групою відносно своєї операції додавання. У комутативному кільці оборотні елементи, або одиниці, утворюють абелеву мультиплікативну групу. Зокрема, дійсні числа є абелевою групою відносно додавання, а ненульові дійсні числа є абелевою групою відносно множення.

Приклади абелевих груп Елемент групи містить цикл, породжений послідовним застосуванням групового закону до генераторів. Наприклад, потужність генератора g Z5 можна описати як g0,g1,g2,g3,g4,g5=g0,g1,g2,g3,g4,… і може створювати елементи {g0,g1,g2,g3,g4}.

Абелева група — це множина A з бінарною операцією ◦, що задовольняє такі умови: (A1) Для всіх a,b,c ∈ A маємо a◦(b◦c)=(a◦b)◦c (асоціативний закон). (A2) Існує елемент e ∈ A такий, що a◦e = a для всіх a ∈ A. (A3) Для будь-якого a ∈ A існує таке b ∈ A, що a◦b = e.

Ми вже знаємо дві такі групи: циклічну групу Z6 і симетричну групу S3. Ці групи не можуть бути ізоморфними одна одній, оскільки Z6 є циклічним, отже, абелевим, і S3 не є абелевим.

Абелева група G є групу G таку, що порядок множення не має значення. Точніше: абелева група така, що ab=ba для всіх a,b∈G. Приклад абелевої групи: цілі числа. Неприклад: група S3 перестановок на 3 літери. Копіювати посилання CC BY-SA 3.0.